Imagine que você quer somar o número 3 cinco vezes.

3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15

Para simplificarmos essa operação, podemos representar essa igualdade da seguinte maneira:

5 x 3 = 15      ou      5 · 3 = 15

(lê-se: cinco vezes três é igual a quinze)

A operação realizada é denominada de multiplicação e é indicada pelo sinal X ou · (lê-se: vezes).

Em uma multiplicação, os números envolvidos nessa operação é chamada de fatores e o resultado é denominado de produto. No exemplo citado acima, os fatores são 3 e 5 e o produto é o 15.

Veja um outro exemplo para melhor compreensão:

7 + 7 + 7 + 7 = 4 x 7 = 28

Onde:

7 + 7 + 7 + 7 → 4 parcelas

4 → Fator

7 → Fator

28 → Produto

Observações:

♦ O produto de um número por 2 é denominado de DOBRO.

♦ O produto de um número por 3 é denominado de TRIPLO.

♦ O produto de um número por 4 é denominado de QUÁDRUPLO.

Assim:

♦ O DOBRO de 9 é 2 x 9 = 18.

♦ O TRIPLO de 14 é 3 x 14 = 42.

♦ O QUÁDRUPLO de 18 é 4 x 18 = 72.

Propriedades da multiplicação

A multiplicação em N apresenta as seguintes propriedades estruturais:

Propriedade do fechamento

O produto de dois números naturais é um número natural. Observe:

3 ∈ N

3 x 4 = 12 e 12 ∈ N

4 ∈ N

Em termos gerais, se a ∈ N e b ∈ N, então (a · b) ∈ N.

Propriedade comutativa

A ordem dos fatores não altera o produto. Observe:

3 x 4 = 12

3 x 4 = 4 x 3

4 x 3 = 12

Em termos gerais, se a ∈ N e b ∈ N, então a · b = b · a.

Existência do elemento neutro 

O número 1 é o elemento neutro da multiplicação. Observe:

3 x 1 = 3

1 x 3 = 3

9 x 1 = 9

1 x 9 = 9

7 x 1 = 7

1 x 7 = 7

Em termos gerais, se a ∈ N, então a · 1 = 1 · a = a.

Propriedade associativa

Na multiplicação de três números naturais, podemos associar os dois primeiros ou os dois últimos. Observe:

(3 x 4) · 5 = 12 x 5 = 60

(3 x 4) · 5 = 3 · (4 x 5)

3 · (4 x 5) = 3 x 20 = 60

Em termos gerais, se a ∈ N, b ∈ N e c ∈ N, então (a · b) · c = a · (b · c).

Propriedade distributiva

O produto de um número natural por uma soma (ou diferença) de um número natural pode ser obtido multiplicando-se esse número por cada termo da soma (ou diferença) e, em seguida, somando-se (ou subtraindo-se) os produtos parciais.

Propriedade distributiva em relação à adição:

Exemplo 01:

3 · (4 + 5) = 3 x 9 = 27

3 · (4 + 5) = 3 x 4 + 3 x 5

3 x 4 + 3 x 5 = 12 + 15 = 27

Exemplo 02:

5 · (a + b) = 5 · a + 5 · b

Exemplo 03:

(4 + 5) · 3 = 4 x 3 + 4 x 5

Em termos gerias, se a ∈ N, b ∈ N e c ∈ N, então:

a · (b + c) = a · b + a · c

ou

a · b + a · c = a · (b + c)

Propriedade distributiva em relação à subtração:

Exemplo 01:

4 · (9 − 6) = 4 x 3 = 12

4 · (9 − 6) = 4 x 9 − 4 x 6

4 x 9 − 4 x 6 = 36 − 24 = 12

Exemplo 02:

3 · (a − b) = 3 x a − 3 x b

Exemplo 03:

(8 − 5) · 2 = 8 x 2 − 5 x 2

Em termos gerias, se a ∈ N, b ∈ N, c ∈ N e b ≥ c, então:

a · (b − c) = a · b − a · c

ou

a · b − a · c = a · (b − c)

Outras propriedades da multiplicação

Além das propriedades estruturais da multiplicação, existem duas outras igualmente importantes:

Propriedade do cancelamento

Se a · x = b · x, então a = b (com x ≠ 0).

Exemplo 01:

Se a · 5 = b · 5, então a = b.

Exemplo 02:

Se a · 5 = 3 · 5, então a = 3.

Propriedade multiplicativa da igualdade

Se a = b, então a · x = b · x.

Exemplo 01:

Se a = b, então a · 4 = b · 4.

Exemplo 02:

Se a = 5 e b = 7, então a · b = 5 · 7.