Considere os conjuntos A = {a, b, c} e o conjunto B = {d, e, f, g}.

Observe que: A e B são conjuntos disjuntos: n(A) = 3; n(B) = 4.

Efetuamos a operação A ∪ B.

A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, g}

Contando o número de elementos de A ∪ B,

verificamos que n(A ∪ B) = 7. Então:

n(A) + n(B) = n(A ∪ B)

   ↓   ↓    ↓            ↓

   3   +   4   =       7

Assim, partindo dos números 3 e 4, chegamos ao número 7. A operação realizada chama-se adição e é indicada pelo sinal +.

Numa adição os números que somamos são chamados parcelas e o resultado da operação é chamado soma. No nosso exemplo, as parcelas são 3 e 4 e a soma é 7.

Propriedades da adição

A adição em N apresenta as seguintes propriedades estruturais:

Propriedade do fechamento

A soma de  dois números naturais é um número natural. Observe:

3 ∈ N

             ⇒  3 + 4 = 7 e 7 ∈ N

4 ∈ N

Em termos gerais, se a ∈ N e b ∈ N, então (a + b) ∈ N.

Propriedade comutativa

A ordem das parcelas não altera a soma. Observe:

3 + 4 = 7

                 ⇒  3 + 4 = 4 + 3

4  + 3 = 7

Em termos gerais, se a ∈ N e b ∈ N, então a + b = b + a.

Propriedade do elemento neutro

O zero é elemento da adição. Observe:

3 + 0 = 3

0 + 3 = 0

4 + 0 = 4

0 + 4 = 0

Em termos gerais, se a ∈ N e b ∈ N, então a + 0 = a e 0 + a = a, ou seja , a + 0 = 0 + a = a.

Propriedade associativa

Na adição de três números naturais, podemos associar os dois primeiros ou os dois últimos. Observe:

(5 + 7) + 8 = 12 + 8 = 20

⇒  (5 + 7) + 8 = 5 + (7 + 8)

5 + (7 + 8) = 5 + 15 = 20

Em termos gerais, se a ∈ N, b ∈ N e c ∈ N, então (a + b) + c = a + (b + c).

Outras propriedades

Além das quatros propriedades da adição, chamadas propriedades estruturais, existem duas muito importante também:

Propriedade do cancelamento

Se a + x = b + x, então a = b.

Exemplos:

Se a + 5 = b + 5, então a = b.

Se x + 4 = 5 + 4, então x = 5.

Propriedade aditiva

Se a = b, então a + x = b + x.

Exemplo:

Se a = b, então a + 4 = b + 4.

Se a = 5 e b = 7, então a + b = 5 + 7.