Expressões numéricas envolvendo a adição e a subtração

Quando dois ou mais números estão relacionados por sinais de operações, eles constituem uma expressão numérica. Exemplo:

5 + 3 − 2

10 − 2 + 1 − 4

Toda expressão numérica pode ser representada por um único numeral, que se obtém efetuando – se as operações indicadas. Esse numeral chama-se valor da expressão numérica. Uma expressão numérica que envolve adição e subtração é resolvida efetuando-se as operações na ordem em que se apresentam. Exemplos:

a) 15 + 9 − 3 =

= 24 − 3 =

= 21

Observe que:

→ Primeiro efetuamos a operação 15 + 9 = 24

→ Depois efetuamos a operação 24 − 3 = 21

b) 10 − 4 + 2 − 3 =

= 6 + 2 − 3 =

= 8 − 3 =

= 5

Observe que:

→ Primeiro efetuamos a operação 10 − 4 = 6

→ Em seguida efetuamos a operação 6 + 2 = 8

→ Depois efetuamos a operação 8 − 3 = 5

Algumas expressões numéricas podem apresentar sinais de associação.

( ) parênteses [ ] colchetes { } chaves

Esses sinais indicam que devemos primeiramente resolver as operações neles contidas. Por ordem, resolvem-se primeiro os parênteses, depois os colchetes e, por último, as chaves. Antes de resolver expressões numéricas com sinais de associação, vejamos a importância desses sinais na pontuação de uma expressão. Considere, por exemplo, as expressões:

(12 − 5) + 3 e 12 − (5 + 3)

Verifique que a única diferença aparente entre as duas expressões é a posição dos parênteses. Vamos resolvê-las:

(12 − 5) + 3 = | 12 − (5 + 3) =

= 7 + 3 = | = 12 − 8 =

= 10 | = 4

Como você pode observar, a posição do sinal de associação tem muita importância, pois, colocado em posições diferentes, pode levar a um resultado diferente. Vamos acompanhar com atenção a resolução das seguintes expressões numéricas:

a) [10 + (6 − 4) + 3] − 8 =

= [10 + 2 + 3] − 8 =

= 15 − 8 =

= 7

Observe que:

→ Primeiro foi resolvida a operação que está dentro dos parênteses. 6 − 4 = 2

→ Em seguida foram resolvidas as operações que estão dentro dos colchetes. 10 + 2 + 3 = 15

→ Depois resolvemos a operação que restou. 15 − 8 = 7

b) 10 + {12 − [4 + (7 − 2) − 1]} =

= 10 + {12 − [4 + 5 − 1]} =

= 10 + {12 − [9 − 1]} =

= 10 + {12 − 8} =

= 10 + 4 =

= 14

Observe que:

→ Primeiro foi resolvida a operação que está dentro dos parênteses. 7 − 2 = 5

→ Depois, resolvemos as operações que estão dentro do colchete. Como temos duas operações 4 + 5 − 1, resolvemos primeiro a operação na ordem em que se apresenta, ou seja, resolvemos primeiro 4 + 5 = 9

→ Ainda nos colchetes, teremos que resolver o restante da operação. O resultado de 4 + 5 = 9 diminuindo de 1, ficando: 9 − 1 = 8.

→ Em seguida teremos que resolver a operação que está dentro das chaves, então fica: 12 − 8 = 4

→ Finalmente, resolvemos a operação que resta. 10 + 4 = 14

Expressões numéricas envolvendo a multiplicação e divisão

O cálculo do valor numérico de uma expressão deve obedecer às seguintes regras:

• Primeiro devemos efetuar as multiplicações ou divisões (na ordem em que aparecem);

• Depois, as adições ou subtrações (também na ordem em que aparecem).

Vejamos alguns exemplos

a) 12 + 3 × 5 − 10 =

= 12 + 15 − 10 =

= 27 − 10 =

= 17

Observe que:

→ Primeiro resolvemos a multiplicação. 3 × 5 = 15

→ Depois foram resolvidas as adições e subtrações, na ordem em que aparecem.

b) 12 − 15 ÷ 3

= 12 − 5 =

= 7

c) 20 ÷ 4 + 3 × 2 − 15 ÷ 5 =

= 5 + 6 − 3 =

= 11 − 3 =

= 8

Se houver sinais de associação, procedemos à resolução na ordem já conhecida: primeiro os parênteses, depois as expressões entre colchetes e, finalmente, as expressões entre chaves, sempre respeitando a ordem da resolução das operações. Veja alguns exemplos:

a) 9 − {2 · [4 + 3 · (5 − 3) − 2 × 4]} =

= 9 − {2 · [4 + 3 × 2 − 2 × 4]} =

= 9 − {2 · [4 + 6 − 8]} =

= 9 − {2 · [10 − 8]} =

= 9 − {2 × 2} =

= 9 − 4 =

= 5

b) 7 + 3 · (4 + 5) + 2 =

= 7 + 3 · 9 + 2 =

= 7 + 27 + 2 =

= 36

c) 48 − {28 − 4 · [3 · (40 ÷ 5 − 3) ÷ (17 − 3 × 4)]} =

= 48 − {28 − 4 · [3 · (8 − 3) ÷ (17 − 12)]} =

= 48 − {28 − 4 · [3 × 5 ÷ 5]} =

= 48 − {28 − 4 · [15 ÷ 5]} =

= 48 − {28 − 4 × 3} =

= 48 − {28 − 12} =

= 48 − 16 =

= 32

Expressões numéricas envolvendo potenciação e radiciação

→ Para calcular o valor de uma expressão, realizamos as operações na seguinte ordem: primeiro resolvemos as potências e raízes quadradas (na ordem em que aparecem) se houver;

→ Depois, as multiplicações ou divisões (na ordem em que aparecem) se houver;

→ Finalmente, as adições ou subtrações (também na ordem em que aparecem).

Exemplo:

a) $3^2\times 2+6^2÷4-2^3=$

= $9\times 2+36÷4-8=$

= $18+9-8=$

= $27-8=$

= 19

Observe que:

→ Resolvemos primeiro as operações de potências

→ Em seguida, resolvemos a multiplicação e a divisão

→ Por último, resolvemos as operações de adição e subtração na ordem em que aparecem

b) $3^2+2\times 5-\sqrt{9}=$

= 9 + 10 − 3 =

= 19 − 3 =

= 16

É importante lembrar que, em uma expressão numérica onde aparecem sinais de associação, devemos resolver na seguinte ordem: parênteses, colchetes e chaves. Exemplo:

$2^2\cdot \{25-[3^4÷(2^3-1\times 5)-3^2]\}=$

= $4\cdot \{25-[81÷(8-1\times 5)-9]\}=$

= $4\cdot \{25-[81÷(8-5)-9]\}=$

= $4\cdot \{25-[81÷3-9]\}=$

= $4\cdot \{25-[27-9]\}=$

= $4\cdot \{25-18\}=$

= $4\cdot 7=$

= 28

Resumindo

Vimos que, quando dois ou mais números estão relacionados por sinais de operações (+, −, ×, ÷), eles constituem uma expressão numérica. Para resolver essas expressões, devemos respeitar algumas regras, que são:

→ Resolver primeiro as potenciações e radiciações na ordem em que se apresentam, se houver.

→ Em seguida resolver as multiplicações e divisões na ordem em que se apresentam, se houver.

→ Por fim resolver as adições e subtrações na ordem em que se apresentam.

Quando uma expressão numérica tiver sinais de associação (parênteses ( ), colchetes [ ] e chaves { }), primeiro, efetuam-se as operações que estão dentro dos parênteses, em seguida as operações que estão dentro dos colchetes e por fim, as operações que estão no interior das chaves, lembrando respeitar as regras de prioridade das operações mencionadas acima.