Já sabemos que:

→ A multiplicação é uma soma de parcelas iguais: 3 · 2 = 2 + 2 + 2 = 6.
→ Pode ser dispensado o sinal + que precede um número positivo: +7 = 7.
→ O oposto de um número positivo é um número negativo: −(+5) = −5.
→ O oposto de um número negativo é um número positivo: −(−5) = 5.

Quando estudamos adição algébrica de números inteiros, vimos como resolver uma expressão matemática que contenha somente operações de adição e subtração, para isso precisamos aplicar a regra do sinal para resolver esse tipo de expressão. Para resolvermos uma multiplicação com dois números inteiros deferentes de zero, também precisamos aplicar essas regras de sinas.  Veja:

(+) ⋅ (+) → +
(+) ⋅ (−) → −
(−) ⋅ (+) → −
(−) ⋅ (−) → +

→ Quando os fatores tiverem sinais iguais, o produto é um número positivo.
→ Quando os fatores tiverem sinais diferentes, o produto é um número negativo.

Veja alguns exemplos:

a) (+5) ⋅ (+6) = +30
b) (+2) ⋅ (−7) = −14
c) (−9) ⋅ (+3) = −27
d) (−5) ⋅ (−9) = +45

E se tivermos uma multiplicação com mais de dois números inteiros?

Muito simples, basta multiplicarmos o primeiro fator pelo segundo, o resultado obtido multiplicamos pelo terceiro fator, e assim sucessivamente, até o ultimo fator. veja alguns exemplos:

a) (+3) ⋅ (−7) ⋅ (+2) = (iremos calcular primeiro: (+3) ⋅ (−7) = −21. Lembrando da regra do sinal: + com − fica − )
= (−21) ⋅ (+2) = (agora iremos calcular: (−21) ⋅ (+2) )
= −42

b) (−8) ⋅ (+2) ⋅ (+1) ⋅ (−3) = (vamos iniciar a calcular (−8) ⋅ (+2))
= (−16) ⋅ (+1) ⋅ (−3) = (agora vamos calcular (−16) ⋅ (+1))
= (−16) ⋅ (−3) =
= 48

Regras básicas para determinarmos o sinal do produto

É possível determinar o sinal de um produto por meios bem práticos.

→ O produto de números inteiros positivos é sempre positivo.

→ O produto de números inteiros não-nulos será:

» positivo, se o número de fatores negativos for par;
»  negativo, se o número de fatores negativos for ímpar.

Observe:

a) (+) ⋅ (+) = +
b) (+) ⋅ (+) ⋅ (+) = +
c) (+) ⋅ (+) ⋅ (+) ⋅ (+) ⋅ (+) = +
d) (+) ⋅ (−) = −
e) (+) ⋅ (−) ⋅ (−) = +
f) (−) ⋅ (−) ⋅ (+) ⋅ (−) = −

Indicação do Produto

A indicação do produto de dois números a e b de duas maneiras:

1ª maneira: usando o sinal ×

a × b

2ª maneira: usando o sinal •

a ⋅ b

Curiosidade: O sinal × foi criado pelo matemático inglês Willian Oughtred em 1931. O sinal • foi criado pela matemático também inglês Thomas Harriot. Algum tempo depois, o matemático francês René Descartes indicou a multiplicação de a e b simplesmente por ab, sem nenhum sinal entre as duas letras.

Usando a indicação de Renê Decartes:

→ o produto 8 • x pode ser indicado por 5x;
→ o produto x • y pode ser indicado por xy;
→ o produto 2 • a • b pode ser indicado por 2ab.

Propriedades da Multiplicação

Assim como na adição, a multiplicação no conjunto dos números inteiros possui algumas propriedades estruturais que iremos conhecer agora:

→ Propriedade comutativa da multiplicação:

A ordem dos fatores não altera o produto. De modo geral, se a ∈ Z e b ∈ Z, então:

a • b = b • a

Exemplos:

a) (+3) • (+2) = 6 ↔ (+2) + (+3) = 6
b) (−15) • (+9) = −135 ↔ (+9) + (−15) = −135
c) (+12) • (+10) = 120 ↔ (+10) + (+12) = 120

→ Propriedade do elemento neutro

O número 1 é o elemento neutro da multiplicação. De modo geral, se a ∈ Z, então:

a • 1 = 1 • a = a

Exemplos:

a) (+6) • (+1) = 6 ↔ (+1) • (+6) = 6
b) (+14) • (+1) = 14 ↔ (+1) • (+14) = 14
c) (−132) • (+1) = −132 ↔ (+1) • (−132) = −132

→ Propriedade associativa da multiplicação

Em uma multiplicação de três números inteiros quaisquer, podemos associá-los de modos deferentes, sem alterar o produto. De modo geral, se a ∈ Z, b ∈ Z e c ∈ Z, então:

a • (b • c) = a • (b • c)

Exemplos:

a) (+7) • [(−3) • (+9)] = −189 ↔ [(+7) • (−3)] • (+9) = −189
b) (−5) • [(−4) • (+1)] = 20 ↔ [(−5) • (−4)] • (+1) = 20
c) (+9) • [(+6) • (−3)] = −162 ↔ [(+9) • (+6)] • (−3) = −162

→ Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição algébrica

O produto de um número inteiro por uma soma algébrica pode ser obtido multiplicando-se esse número pelos termos da soma e, em seguida, somando-se os produtos parciais. De modo geral, se a ∈ Z, b ∈ Z e c ∈ Z, então:

a • (b + c) = a • b + a • c

Exemplos:

a) (−5) • (8 + 6) = (−5) • 8 + (−5) • 6 = (−40) + (−30) = −70
b)  5 • (−a + b) = 5 • (−a) + 5 • b = −5a + 5b
c) (−8 − 6) • y = (−8) • y − 6 • y = −8y − 6y

Podemos usar essa propriedade para simplificar expressões. Veja alguns exemplos:

a) 5 • x + 4 • x = (5 + 4) • x = 9 • x = 9x
b) −8 • n + 2 • n = (−8 + 2) • n = −6 • n = −6n
c) 2 •  a − 5 •  a + a = 2 •  a − 5 •  a + 1 • a = (2 − 5 + 1) • a = (3 − 5) • a = −2 • a = −2a