Os Conjuntos

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Relação de Inclusão

Dando continuidade ao assunto de conjuntos, iremos falar sobre relação de inclusão.

Relação de inclusão é quando todos os elementos de um determinado conjunto pertencem ou não a um outro conjunto. Essa relação é indicada  pelos seguintes símbolos:

  •  ⊂ → lê-se: está contido
  • ⊃ → lê-se: contém
  • ⊄ → lê-se: não está contido
  • ⊅ → lê-se: não contém

Para entendermos melhor, darei alguns exemplos para melhor compreensão.

Exemplo 01

Considere os conjuntos abaixo:

A = {1, 2, 3}
B = {1, 2, 3, 4, 5}

temos:

1 ∈ A    e    1 ∈ B
2 ∈ A    e   2 ∈ B
3 ∈ A    e   3 ∈ B

Perceba que, todos os elementos do conjunto A também pertencem ao conjunto B, então podemos afirmar que A está contido em B, podendo ser indicado da seguinte maneira: A ⊂ B. E se A ⊂ B, podemos também dizer que B contém A, podendo ser indicado da seguinte maneira: B ⊃ A.

Exemplo 02

Agora considere os seguintes conjuntos abaixo:

A = {0, 1, 2, 3}
B = {1, 2, 3, 4}

temos:

0 ∈ A    e   0 ∉ B
1 ∈ A    e   1 ∈ B
2 ∈ A    e   2 ∈ B
3 ∈ A    e   3 ∈ B

Perceba que, nem todos os elementos do conjunto A pertence ao conjunto B. Então podemos dizer que A não está contido em B, podendo ser indicado da seguinte maneira: A ⊄ B. Logo, B não contem A, que também é indicado por B ⊅ A.

Então: 

  • Quando todos os elementos do conjunto A também pertencem B, dizemos que A está contido em B, ou A é subconjunto de B, ou A é parte de B. Também dizemos que B contem A.

  • Quando nem os elementos do conjunto A pertencem a B, dizemos que A não está contido em B. Também dizemos que B não contem A.

É importante sabermos que: 

  • Todo subconjunto é subconjunto de si mesmo, ou seja, A ⊂ A.

  • O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja, Ø ⊂ A, qualquer que seja o conjunto A.

Exemplo 03

Dado o conjunto A = {a, e, i}, podemos obter os seguintes subconjuntos de A:

  • subconjunto sem elementos: Ø;
  • subconjunto com um elemento: {a}, {e}, {i};
  • subconjunto com dois elemento: {a, e}, {a, i}, {e, i};
  • subconjunto com três elemento: {a, e, i};
    Então, os subconjuntos de A são: {a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e, i}.

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