Fração geratriz é a fração que dá origem a uma dízima periódica.

Exemplo:

Como $ \frac{7}{9}=0,777… $, então $ \frac{7}{9} $ é a fração geratriz da dízima periódica $ 0,777… $

Geratriz de uma dízima periódica simples

A representação decimal das seguintes frações:

a) $ \frac{4}{9}=0,444… $

b) $ \frac{6}{9}=0,666… $

c) $ \frac{21}{99}=0,212121… $

d) $ \frac{345}{999}=0,345345… $

As frações acima, nos mostram que o numerador da fração geratriz de uma dízima periódica simples é igual ao período, e o denominador tem tantos noves quantos forem os algarismos do período.

Calcular a fração geratriz das seguintes dízimas periódicas simples:

a) 0,555…

O período é 5 → o numerador é 5.

O número 5 tem um só algarismo → o denominador é 9.

Então:

$ 0,555… = \frac{5}{9} $

b) 0,313131…

O período é 31 → o numerador é 31.

O número 31 tem dois algarismos → o denominador é 99.

Então:

$ 0,313131… = \frac{31}{99} $

c)

Geratriz de uma dízima periódica composta

Para calcularmos uma fração geratriz de uma dízima periódica composta, basta seguir algumas regras:

• O numerador é formado pela parte não-periódica seguida do período, menos a parte não-periódica.
• O denominador é formado por tantos noves quantos são os algarismos do período e tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não-periódica.

Veja alguns exemplos:

a) 0,2555…

A parte não-periódica é 2 e o período é 5.

$ 0,2555… = \frac{25-2}{90}=\frac{23}{90} $

Observe que o denominador foi formado por um zero para a parte não-periódica e um nove para o período.

b) 0,3424242…

A parte não-periódica é 3 e o período é 42.

$ 0,3424242… = \frac{342-3}{990}=\frac{339}{990}=\frac{113}{330} $

Observe que o denominador foi formado por um zero para a parte não-periódica e dois noves, um para cada algarismo do período.

c) 0,257777…

A parte não-periódica é 25 e o período é 7.

$ 0,25777… = \frac{257-25}{900}=\frac{232}{900}=\frac{58}{225} $

Observe que o denominador foi formado por dois zeros, um para cada algarismo da parte não-periódica e um nove para o período.