Vamos estudar dois processos para o cálculo do mdc de dois ou mais números.

1º processo: Decomposição em fatores primos

O cálculo do mdc de dois ou mais números pelo processo da decomposição em fatores primos obedece à seguinte regra:

→ Decompõe-se cada número dado em fatores primos.

→ O mdc é o produto dos fatores comuns elevados ao seu menor expoente.

Como exemplo, vamos calcular o mdc de 168 e 180:

168 = 2³ × 3 × 7

180 = 2² × 3² × 5

Os divisores comuns são 2 e 3.

O menor expoente do fator 2 é 2 e do 3 é 1.

Então:

mdc(168, 180) = 2² × 3 = 4 × 3 = 12.

2º processo: Divisões sucessivas

O cálculo do mdc de dois números pelo processo das divisões sucessivas obedece à seguinte regra:

→ Divide-se o número maior pelo número menor.

→ Divide-se o número menor pelo primeiro resto.

→ Divide-se o primeiro resto pelo segundo resto, e assim sucessivamente até se obter uma divisão exata.

→ O último divisor é o mdc procurado.

Exemplos:

a) mdc de 48 e 36:

b) mdc de 72 e 50:

c) mdc de 126, 240 e 540:

Primeiro determinamos o mdc de 540 e 240.

A seguir determinamos o mdc de 126 e 60.

Propriedade do MDC

Vamos verificar o que ocorre  quando quando calculamos o mdc de dois números naturais em que o maior é divisível pelo menos. Considere como exemplo o mdc(6, 12).

Pelo processo das divisões sucessivas, temos:

Observe que:

→ 12 é divisível por 6

→ mdc(12, 6) = 6

O exemplos nos mostra que:

O MDC de dois números naturais, em que um é múltiplo do outro, é o menor dentre eles.

Assim:

→ O mdc(20, 4) = 4, pois 20 é divisível por 4.

→ O mdc(7, 21) = 7, pois 21 é divisível por 7.