Identidade (Função ou Matriz): O termo “identidade” é utilizado em matemática para descrever um conceito fundamental em duas áreas distintas: a teoria das funções e a álgebra linear, onde se refere à identidade de uma função ou de uma matriz.
Identidade em Funções:
Em teoria das funções, a identidade refere-se a uma função que mapeia cada elemento para si mesmo. Em outras palavras, é uma função que não altera o valor de sua entrada. A função identidade é denotada como “f(x) = x” e é definida da seguinte forma:
- Para qualquer número real “x“, f(x) = x.
Em outras palavras, a função identidade simplesmente retorna o valor de entrada sem fazer qualquer alteração. É uma função linear simples e serve como ponto de referência em muitos contextos matemáticos. Por exemplo, na composição de funções, a função identidade não altera o resultado final.
Identidade em Matrizes:
Em álgebra linear, a matriz identidade é uma matriz quadrada especial que, quando multiplicada por outra matriz, não altera a matriz original. A matriz identidade é frequentemente denotada como “I” ou “I_n“, onde “n” representa a ordem da matriz (o número de linhas e colunas).
A matriz identidade “I” tem as seguintes propriedades:
- Ela possui “1” em todas as diagonais principais (da esquerda superior para a direita inferior) e “0” em todas as outras posições.
- Quando multiplicada por qualquer matriz “A” de ordem compatível, a matriz identidade preserva a matriz original: I * A = A * I = A.
- A matriz identidade é comutativa na multiplicação, o que significa que a ordem da multiplicação não afeta o resultado.
A matriz identidade é um elemento importante na álgebra linear e tem várias aplicações em transformações lineares, sistemas de equações lineares e diagonalização de matrizes, entre outros tópicos. Ela é usada para representar a ausência de transformação ou mudança em sistemas lineares.
Em resumo, em matemática, o termo “identidade” refere-se tanto à função identidade, que mapeia cada elemento para si mesmo, quanto à matriz identidade, que é uma matriz especial que não altera outras matrizes quando multiplicadas por elas. Esses conceitos são fundamentais em teoria das funções e álgebra linear, desempenhando papéis importantes em diversas aplicações matemáticas e científicas.