Grupo em Álgebra Abstrata
Um grupo, em álgebra abstrata, é uma estrutura algébrica fundamental que consiste em um conjunto não vazio de elementos, juntamente com uma operação binária associativa que satisfaz quatro propriedades essenciais: fechamento, identidade, inverso e associatividade.
- Fechamento: Para quaisquer dois elementos “a” e “b” pertencentes ao conjunto, a operação binária resultante “a * b” também deve estar no conjunto. Isso significa que a operação não produz resultados fora do grupo.
- Identidade: Deve existir um elemento especial no grupo, geralmente denotado como “e“, chamado de elemento identidade, tal que, para qualquer elemento “a” no grupo, “a * e = e * a = a.”
- Inverso: Para cada elemento “a” no grupo, deve haver um elemento inverso:
no grupo, de modo que:
O elemento inverso desfaz a operação e retorna à identidade. - Associatividade: A operação binária deve ser associativa, o que significa que, para todos os elementos “a“, “b” e “c” no grupo, a seguinte igualdade deve valer:
Os grupos são uma parte fundamental da álgebra abstrata e desempenham um papel crucial em muitos campos da matemática, física, química e outras ciências. Eles são usados para estudar simetrias, transformações, soluções de equações e uma ampla variedade de problemas em diversas disciplinas.
Existem muitos exemplos de grupos, incluindo o grupo de números inteiros com a operação de adição, o grupo de números racionais não nulos com a operação de multiplicação, o grupo de permutações de um conjunto finito e o grupo de rotações de um objeto geométrico. Cada grupo possui propriedades únicas que o distinguem e podem ser categorizados em diferentes tipos, como grupos abelianos (comutativos) e grupos não abelianos.
Em resumo, um grupo em álgebra abstrata é uma estrutura matemática que consiste em um conjunto de elementos com uma operação binária que satisfaz quatro propriedades fundamentais. Os grupos desempenham um papel central na matemática e em muitas áreas científicas, fornecendo ferramentas poderosas para a análise e a modelagem de simetrias e transformações.
