O que é: Função Inversa

Função Inversa: Uma função inversa é uma relação entre duas variáveis que “desfaz” a ação de uma função original. Em outras palavras, se uma função transforma um valor $x$ em um valor $y$, a função inversa transforma $y$ de volta em $x$. Nem todas as funções possuem inversas, e aquelas que têm são geralmente funções bijetivas, o que significa que cada valor de $x$ está associado a um único valor de $y$ e vice-versa.

Uma função inversa é denotada frequentemente por:

onde $f$ é a função original.

Características importantes das funções inversas:

1. Inversão de Papéis: A função inversa troca os papéis das variáveis na função original. Se a função original é $f(x)$, então a função inversa é:

   

2. Operação Contrária: A função inversa “desfaz” a operação da função original. Se a função original realiza uma adição, a função inversa realiza uma subtração; se a função original realiza uma multiplicação, a função inversa realiza uma divisão.
3. Domínio e Contradomínio Trocados: As funções e suas inversas possuem os domínios e contradomínios trocados. O domínio da função original é o contradomínio da função inversa, e vice-versa.
4. Ponto de Inflexão: Os pontos onde as funções original e inversa se cruzam na forma $(x,x)$ são chamados de pontos de inflexão da curva. Isso ocorre porque uma função e sua inversa são reflexos uma da outra em relação à reta y=x.
5. Funções Bijetivas: Nem todas as funções têm inversas. Para que uma função tenha uma inversa, ela precisa ser bijetiva (ou seja, cada valor de $x$ corresponde a um único valor de $y$ e vice-versa).
6. Gráfico: O gráfico de uma função e o gráfico de sua função inversa são simétricos em relação à reta y=x.
7. Exponenciação e Logaritmo: A relação entre funções exponenciais e logarítmicas é um exemplo clássico de funções inversas.

Funções inversas são importantes para resolver equações, simplificar expressões e entender relações entre variáveis. Elas desempenham um papel crucial em muitas áreas da matemática e da física, especialmente em situações onde a reversão de uma operação é essencial para a análise e solução de problemas.