O que é: Fatorial

Fatorial: O fatorial de um número natural $n$, denotado por $n!$, é o produto de todos os números inteiros positivos de 1 até $n$. Em outras palavras, o fatorial de $n$ é dado por:

n!=n×(n−1)×(n−2)×…×3×2×1

O fatorial é uma operação matemática importante que surge em muitos contextos, especialmente na contagem de maneiras diferentes de organizar ou escolher elementos de um conjunto. Aqui estão algumas características e usos do fatorial:

1. Notação: O símbolo n! representa o fatorial de $n$. Por exemplo, 5!=5×4×3×2×1=120.
2. Casos Especiais: Por convenção, 0!=1 e 1!=1.
3. Contagem de Permutações: O fatorial é frequentemente usado para contar o número de maneiras diferentes de organizar n objetos em uma sequência. Isso é conhecido como permutação.
4. Combinações: As combinações, que envolvem escolher um número de elementos sem considerar a ordem, também usam o fatorial em sua fórmula.
5. Séries Matemáticas: O fatorial também aparece em séries matemáticas, como a Série de Taylor, que é usada para representar funções como somas infinitas.
6. Cálculos Combinatórios: O fatorial é usado em muitos problemas de probabilidade, combinatória e teoria dos números.
7. Recursão: O fatorial é frequentemente usado como exemplo introdutório em programação e recursão, uma vez que pode ser definido recursivamente como n!=n×(n−1)!.
8. Expansões Binomiais: O fatorial é um componente importante nas expansões binomiais, como a fórmula do binômio de Newton.
9. Propriedades Matemáticas: O fatorial tem várias propriedades interessantes, incluindo n!=n⋅(n−1)! e n!=n⋅(n−1)⋅(n−2)!.

O conceito de fatorial é fundamental em matemática e tem aplicações em várias áreas, incluindo matemática discreta, combinatória, análise matemática e probabilidade.