O que é: Espaço Vetorial

Espaço Vetorial: Um espaço vetorial é uma estrutura matemática que consiste em um conjunto de elementos (vetores) e operações que permitem adição e multiplicação por escalares. Essa estrutura é estudada na álgebra linear e tem ampla aplicação em várias áreas da matemática, física, engenharia e ciência da computação.

Para ser considerado um espaço vetorial, um conjunto deve satisfazer certas propriedades. Essas propriedades incluem:

1. Adição de Vetores: A adição de dois vetores em um espaço vetorial deve resultar em outro vetor no mesmo espaço.
2. Multiplicação por Escalar: A multiplicação de um vetor por um escalar (um número real ou complexo) deve produzir outro vetor no mesmo espaço.
3. Associatividade da Adição: A adição de vetores deve ser associativa, ou seja, $(u+v)+w$ é o mesmo que $u+(v+w)$ para quaisquer vetores u, v e $w$.
4. Comutatividade da Adição: A adição de vetores é comutativa, ou seja, u+v é o mesmo que v+u para quaisquer vetores u e v.
5. Elemento Nulo: Existe um vetor especial chamado de vetor nulo (geralmente denotado como zero) que, quando adicionado a qualquer vetor, resulta no mesmo vetor.
6. Inverso Aditivo: Para cada vetor $v$, deve existir um vetor $-v$ que, quando adicionado a $v$, resulte no vetor nulo.
7. Distributividade da Multiplicação: A multiplicação por um escalar deve ser distributiva em relação à adição de vetores, ou seja, $a\cdot (u+v)$ é o mesmo que a⋅u+a⋅v para qualquer escalar $a$ e vetores $u$ e v.
8. Distributividade da Adição de Escalares: A distributividade da adição de escalares em relação à multiplicação por vetor, ou seja, (a+b)⋅v é o mesmo que a⋅v+b⋅v para quaisquer escalares $a$ e $b$ e vetor $v$.
9. Compatibilidade da Multiplicação de Escalares: A multiplicação de um vetor pelo produto de dois escalares (a⋅(b⋅v)) é o mesmo que a multiplicação do produto dos escalares pelo vetor (a⋅b⋅v).

Exemplos de espaços vetoriais incluem os espaços euclidianos tridimensionais, os espaços de polinômios, os espaços de funções, os espaços de matrizes e muito mais. A noção de espaço vetorial é fundamental para a compreensão de transformações lineares, sistemas de equações lineares, geometria, álgebra linear e uma variedade de aplicações em ciências exatas e engenharia.