Olá amigos leitores,

Agora que entendemos o conceito de inequações e suas propriedades, vamos aprender a resolver inequações do 1º grau com uma variável. Resolver essas inequações é uma habilidade essencial na matemática, que pode ser aplicada em diversos contextos práticos e acadêmicos.

Passos para Resolver Inequações do 1º Grau

Para resolver inequações do 1º grau com uma variável, seguimos um conjunto de passos lógicos que envolvem a aplicação das propriedades da desigualdade.

Passo 1: Isolar a Variável

O primeiro passo para resolver uma inequação é isolar a variável em um dos lados da desigualdade. Isso pode ser feito utilizando as propriedades aditiva e multiplicativa das desigualdades.

Passo 2: Simplificar a Inequação

Simplificamos a inequação combinando termos semelhantes e realizando operações aritméticas necessárias. Esse passo garante que a inequação fique em uma forma mais simples e fácil de interpretar.

Exemplos de Resolução de Inequações

Vamos resolver alguns exemplos práticos para ilustrar os passos mencionados:

Exemplo 1: Inequação Simples

Considere a inequação:

$$2x + 3 < 7$$

Solução:

1. 1. Subtraímos 3 de ambos os lados:

$$2x < 4$$

1. 1. Dividimos ambos os lados por 2:

$$x < 2$$

Portanto, a solução é $$x < 2$$

Exemplo 2: Inequação com Termos em Ambos os Lados

Considere a inequação:

$$5 – x \geq 4$$

Solução:

1. 1. Subtraímos 5 de ambos os lados:

$$-x \geq -1$$

1. 1. Multiplicamos ambos os lados por -1 (invertendo o sinal da desigualdade):

$$x \leq 1$$

Portanto, a solução é $$x \leq 1$$

Exemplo 3: Inequação com Frações

Considere a inequação:

$$\frac{3x}{2} – 1 \leq \frac{x}{4} + 2$$

Solução:

1. 1. Multiplicamos todos os termos por 4 para eliminar as frações:

$$4 \left( \frac{3x}{2} – 1 \right) \leq 4 \left( \frac{x}{4} + 2 \right)$$

1. 1. Simplificamos:

$$6x – 4 \leq x + 8$$

1. 1. Subtraímos x de ambos os lados:

$$5x – 4 \leq 8$$

1. 1. Somamos 4 a ambos os lados:

$$5x \leq 12$$

1. 1. Dividimos ambos os lados por 5:

$$x \leq \frac{12}{5}$$

Portanto, a solução é $$x \leq \frac{12}{5}$$

Exemplo 4: Inequação com Subtração e Frações

Considere a inequação:

$$\frac{5x}{3} – \frac{2}{3} > \frac{4x}{3} + \frac{1}{2}$$

Solução:

1. 1. Multiplicamos todos os termos por 6 (o mínimo múltiplo comum de 3 e 2) para eliminar as frações:

$$6 \left( \frac{5x}{3} – \frac{2}{3} \right) > 6 \left( \frac{4x}{3} + \frac{1}{2} \right)$$

1. 1. Simplificamos:

$$10x – 4 > 8x + 3$$

1. 1. Subtraímos 8x de ambos os lados:

$$2x – 4 > 3$$

1. 1. Somamos 4 a ambos os lados:

$$2x > 7$$

1. 1. Dividimos ambos os lados por 2:

$$x > \frac{7}{2}$$

Portanto, a solução é $$x > \frac{7}{2}$$

Exemplo 5: Inequação com Frações em Ambos os Lados

Considere a inequação:

$$\frac{x}{2} + \frac{3}{4} < \frac{3x}{4} – \frac{1}{2}$$

Solução:

1. 1. Multiplicamos todos os termos por 4 para eliminar as frações:

$$4 \left( \frac{x}{2} + \frac{3}{4} \right) < 4 \left( \frac{3x}{4} – \frac{1}{2} \right)$$

1. 1. Simplificamos:

$$2x + 3 < 3x – 2$$

1. 1. Subtraímos 2x de ambos os lados:

$$3 < x – 2$$

1. 1. Somamos 2 a ambos os lados:

$$5 < x$$

Portanto, a solução é $$x > 5$$

Exemplo 6: Inequação com Frações e Termos Negativos

Considere a inequação:

$$\frac{2x – 3}{5} \geq \frac{x + 2}{2}$$

Solução:

1. 1. Multiplicamos todos os termos por 10 (o mínimo múltiplo comum de 5 e 2) para eliminar as frações:

$$10 \left( \frac{2x – 3}{5} \right) \geq 10 \left( \frac{x + 2}{2} \right)$$

1. 1. Simplificamos:

$$4x – 6 \geq 5x + 10$$

1. 1. Subtraímos 5x de ambos os lados:

$$-x – 6 \geq 10$$

1. 1. Somamos 6 a ambos os lados:

$$-x \geq 16$$

1. 1. Multiplicamos ambos os lados por -1 (invertendo o sinal da desigualdade):

$$x \leq -16$$

Portanto, a solução é $$x \leq -16$$

Dicas Importantes

Aqui estão algumas dicas para resolver inequações de forma eficaz:

• Verifique as Propriedades: Sempre lembre-se de aplicar as propriedades da desigualdade corretamente, especialmente ao multiplicar ou dividir por números negativos.
• Simplifique Passo a Passo: Não tente resolver tudo de uma vez; simplifique a inequação gradualmente.
• Verifique a Solução: Substitua valores na solução para verificar se satisfazem a inequação original.

Conclusão

Resolver inequações do 1º grau com uma variável é uma habilidade fundamental na matemática. Com os passos e dicas apresentados, você estará preparado para enfrentar diversos tipos de problemas envolvendo desigualdades.

Espero que este guia tenha ajudado a clarificar o processo de resolução de inequações. Na próxima página, você encontrará uma série de exercícios práticos para consolidar seu conhecimento. Vamos praticar!