Olá amigos leitores,

Continuando nossa jornada pelo fascinante mundo das inequações do 1º grau com uma variável, vamos nos aprofundar no conceito fundamental de inequações. Entender o que são as inequações e como elas funcionam é essencial para resolver problemas matemáticos com confiança e precisão.

Noção de Inequações

As inequações são expressões matemáticas que envolvem desigualdades. Diferente das equações, que estabelecem uma igualdade entre duas expressões, as inequações indicam que uma expressão é maior, menor, maior ou igual, ou menor ou igual a outra.

Representação de Inequações

As inequações podem ser representadas por símbolos de desigualdade, como:

• Menor que ( < )
• Maior que ( > )
• Menor ou igual a ( ≤ )
• Maior ou igual a ( ≥ )

Por exemplo, uma inequação típica pode ser representada como “x + 5 > 12”, onde “x” é uma variável que assume valores que tornam a expressão verdadeira.

veja outros exemplos:

a) x + 5 > 12

b) 2x – 4 ≤ x + 2

c) x² – 5x ≥ 0

d) 3x – 8 < x²

Componentes de uma Inequação

Para compreender melhor, vamos analisar os componentes de uma inequação:

Variável

A variável é o elemento desconhecido que estamos tentando determinar. Em uma inequação do 1º grau, a variável aparece com um expoente de 1.

Primeiro Membro e Segundo Membro

As expressões que aparecem em cada lado do símbolo de desigualdade são chamadas de primeiro membro (lado esquerdo) e segundo membro (lado direito).

Por exemplo, na inequação: x + 5 > 12, observe que:

• a variável é x;
• o primeiro membro é x + 5;
• o segundo membro é 12.

Veja outro exemplo, observe a inequação 2x – 4 ≤ x + 2:

• a variável é x;
• o primeiro membro é 2x – 4;
• o segundo membro é x + 2.

Propriedades da Desigualdade

As propriedades da desigualdade são fundamentais para manipular e resolver inequações corretamente.

Mais antes de aprendermos as propriedades, convém você observa que:

• os sinais < e < têm o mesmo sentido;
• os sinais < e > têm sentidos opostos;
• os sinais > e > têm o mesmo sentido;
• os sinais > e < têm sentidos opostos.

Agora, iremos explorar as principais propriedades:

Propriedade Aditiva

A propriedade aditiva afirma que:

Se somarmos ou subtrairmos o mesmo número de ambos os lados de uma inequação, a desigualdade não se altera.

Por exemplo:

• Se a > b, então a + c > b + c.
• Se a < b, então a – c < b – c.

Propriedade Multiplicativa

Ja a propriedade multiplicativa diz que:

• Se multiplicarmos ou dividirmos ambos os lados de uma inequação por um número positivo, a desigualdade não se altera.
• No entanto, se multiplicarmos ou dividirmos por um número negativo, a desigualdade inverte seu sentido.

Exemplos:

• Se a > b e c > 0, então ac > bc.
• Se a > b e c < 0, então ac < bc.

Essas propriedades são essenciais para resolver inequações, pois nos permitem isolar a variável de interesse.

Exemplos de Inequações

Vamos considerar alguns exemplos simples para ilustrar:

Exemplo 1: Considere a desigualdade \(3 < 5\).

Vamos adicionar 2 a ambos os lados:

$$3 + 2 < 5 + 2 \implies 5 < 7$$

Explicação: A desigualdade permanece verdadeira após adicionar o mesmo valor a ambos os lados.

Exemplo 2: Considere a desigualdade \(8 > 4\).

Vamos subtrair 3 de ambos os lados:

$$8 – 3 > 4 – 3 \implies 5 > 1$$

Explicação: A desigualdade permanece verdadeira após subtrair o mesmo valor de ambos os lados.

Exemplo 3: Considere a desigualdade \(2 < 4\).

Vamos multiplicar ambos os lados por 3:

$$2 \cdot 3 < 4 \cdot 3 \implies 6 < 12$$

Explicação: A desigualdade permanece verdadeira quando multiplicamos ambos os lados por um número positivo.

Exemplo 4: Considere a desigualdade \(3 > 1\).

Vamos multiplicar ambos os lados por -2:

$$3 \cdot (-2) > 1 \cdot (-2) \implies -6 < -2$$

Explicação: A desigualdade inverte quando multiplicamos ambos os lados por um número negativo.

Por Que Estudar Inequações?

Estudar inequações é crucial porque:

• Aplicações Práticas: Elas aparecem em muitos problemas do dia a dia, como cálculos financeiros, engenharia e ciências.
• Fundamento para Estudos Avançados: São base para entender conceitos mais complexos na matemática, como sistemas de inequações e programação linear.

Conclusão

As inequações são uma parte essencial da matemática que ajudam a representar e resolver problemas envolvendo desigualdades. Compreender suas características e como manipular essas desigualdades é fundamental para o progresso em matemática.

Espero que este artigo tenha esclarecido o conceito de inequações para você. Na próxima página, vamos explorar os métodos de resolução de inequações do 1º grau com uma variável. Prepare-se para aprender técnicas eficazes para resolver essas desigualdades!