As equações do 1º grau com duas variáveis são fundamentais na álgebra e possuem inúmeras aplicações práticas. Elas são usadas para modelar e resolver problemas que envolvem relações lineares entre duas quantidades. Neste tópico, vamos explorar como resolver essas equações de forma detalhada e clara.

O que é uma Equação do 1º Grau com Duas Variáveis?

Uma equação do 1º grau com duas variáveis é uma expressão matemática que pode ser escrita na forma:

$$ax + by = c$$

onde \(a\), \(b\) e \(c\) são constantes e \(x\) e \(y\) são as variáveis. As soluções dessa equação são os pares ordenados \((x, y)\) que tornam a equação verdadeira.

→ Exemplo: A equação \(2x + 3y = 6\) é uma equação do 1º grau com duas variáveis. Os valores de \(x\) e \(y\) que satisfazem essa equação são suas soluções.

Como Resolver Equações do 1º Grau com Duas Variáveis

Para resolver uma equação do 1º grau com duas variáveis, podemos usar diversos métodos. Vamos explorar os mais comuns: o método da substituição e o método da adição.

Método da Substituição

O método da substituição envolve resolver uma das equações para uma das variáveis e, em seguida, substituir essa expressão na outra equação.

→  Passo 1: Isolar uma variável em uma das equações.

Exemplo: Na equação \(2x + 3y = 6\), podemos isolar \(y\):

\(y = \frac{6 – 2x}{3}\).

→ Passo 2: Substituir a expressão encontrada na outra equação.

Se tivermos uma segunda equação \(x – y = 1\), substituímos \(y\) pela expressão \( \frac{6 – 2x}{3}\).

→ Passo 3: Resolver a equação resultante para a outra variável.

\(x – \frac{6 – 2x}{3} = 1\)

♦ Multiplicando todos os termos por 3 para eliminar o denominador:

\(3x – (6 – 2x) = 3\)

♦ Simplificando:

\(3x – 6 + 2x = 3 \Rightarrow 5x = 9 \Rightarrow x = \frac{9}{5}\)

→ Passo 4: Substituir o valor encontrado na expressão isolada para encontrar o valor da outra variável.

\(y = \frac{6 – 2 \cdot \frac{9}{5}}{3} = \frac{6 – \frac{18}{5}}{3} = \frac{\frac{30}{5} – \frac{18}{5}}{3} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}\)

Método da Adição (Eliminação)

O método da adição, ou eliminação, envolve somar ou subtrair as equações para eliminar uma das variáveis.

→ Passo 1: Multiplicar uma ou ambas as equações por um fator que permita que os coeficientes de uma das variáveis sejam opostos.

Exemplo: Considere as equações \(2x + 3y = 6\) e \(x – y = 1\). Podemos multiplicar a segunda equação por 3 para eliminar \(y\).

\(2x + 3y = 6\)

\(3(x – y) = 3 \Rightarrow 3x – 3y = 3\)

→ Passo 2: Somar as equações para eliminar uma variável.

\(2x + 3y + 3x – 3y = 6 + 3\)

\(5x = 9 \Rightarrow x = \frac{9}{5}\)

→ Passo 3: Substituir o valor encontrado na equação original para encontrar o valor da outra variável.

Substituímos \(x = \frac{9}{5}\) em \(x – y = 1\)

\(\frac{9}{5} – y = 1 \Rightarrow y = \frac{4}{5}\)

Verificação das Soluções

Após encontrar os valores de \(x\) e \(y\), é importante verificar se esses valores satisfazem ambas as equações originais.

→ Exemplo: Para \(x = \frac{9}{5}\) e \(y = \frac{4}{5}\):

Substituindo em \(2x + 3y = 6\):

\(2 \cdot \frac{9}{5} + 3 \cdot \frac{4}{5} = \frac{18}{5} + \frac{12}{5} = \frac{30}{5} = 6\)

Substituindo em \(x – y = 1\):

\(\frac{9}{5} – \frac{4}{5} = \frac{5}{5} = 1\)

Representação Gráfica

Outra maneira de resolver e entender equações do 1º grau com duas variáveis é através da representação gráfica. Cada equação representa uma reta no plano cartesiano, e a solução é o ponto onde essas retas se interceptam.

→ Passo 1: Plotar as retas das equações no plano cartesiano.

Para \(2x + 3y = 6\): Encontramos pontos substituindo valores de \(x\) e \(y\). Por exemplo, para \(x = 0\), \(y = 2\), e para \(x = 3\), \(y = 0\). Plotamos os pontos (0, 2) e (3, 0) e traçamos a reta.

Para \(x – y = 1\): Para \(x = 0\), \(y = -1\), e para \(x = 1\), \(y = 0\). Plotamos os pontos (0, -1) e (1, 0) e traçamos a reta.

→ Passo 2: Determinar o ponto de interseção das retas.

O ponto onde as duas retas se cruzam é a solução do sistema de equações. Neste exemplo, o ponto de interseção é \(\left(\frac{9}{5}, \frac{4}{5}\right)\).

Aplicações Práticas

As equações do 1º grau com duas variáveis são usadas em várias áreas para modelar e resolver problemas. Aqui estão alguns exemplos práticos:

• Economia: Para encontrar o ponto de equilíbrio entre oferta e demanda. A quantidade oferecida e a quantidade demandada podem ser representadas por equações lineares, e o ponto de interseção indica o preço de equilíbrio.
• Física: Para descrever movimentos e forças. Por exemplo, a posição de um objeto em movimento pode ser modelada usando equações do 1º grau com duas variáveis.
• Engenharia: Para analisar circuitos elétricos. As tensões e correntes em diferentes partes de um circuito podem ser representadas por equações lineares.