Equação é toda sentença aberta expressa por uma igualdade.

Veja a sentença a seguir:

x + 5 = 12 − 3

Podemos dizer que:

〉 É uma sentença aberta;
〉 É uma igualdade;
〉 Então é uma equação.

→ O primeiro membro dessa sentença constitui o primeiro membro da equação.

→ O segundo membro dessa sentença constitui o segundo membro da equação.

Raízes de uma Equação

Raízes de uma equação, são valores que tornam a sentença aberta verdadeira.

Para verificar se um número é raiz de uma equação, basta substituir a variável pelo número dado. Se a sentença obtida for verdadeira, o número será raiz da equação.

Veja alguns exemplos:

♦ Veja se o número 5 é raiz da equação: x + 2 = 7.

Substituindo o x por 5, fica:

x + 2 = 7
5 + 2 = 7
7 = 7
(verdadeira)

Logo, 5 é raiz da equação x + 2 = 7.

♦ Veja se o número 4 é raiz da equação: 3x + 2 = 5.

Substituindo o x por 4, temos:

3x + 2 = 5
3 • 4 + 2 = 5
12 + 2 = 5
14 = 5
(falso)

Logo, 4 não é raiz da equação 3x + 2 = 5.

Conjunto Universo e Conjunto Verdade de uma Equação

Em uma equação devemos saber quais os valores que a variável pode assumir e quais os valores que tornam essa equação verdadeira.

Considere, como exemplo, a sentença:

Um número inteiro par elevado ao quadrado e somado com 5 dá 21

Escrevendo essa sentença na linguagem matemática, temos a equação:

x² + 5 = 21

Como x representa um número inteiro par, então x pode assumir qualquer valor do conjunto: { …, –6, –4, –2, 0, 2, 4, 6, … }. Esse conjunto recebe o nome de conjunto universo da equação dada. Geralmente, representamos o conjunto universo pela letra U. Portanto:

U = { …, –6, –4, –2, 0, 2, 4, 6, … }

Existem dois números de conjunto universo que tornam a equação dada verdadeira. São os números –4 e 4. Vamos verificar:

〉 para x = –4, temos: (–4)² + 5 = 21 ⇒ 16 + 5 = 21 ⇒ 21 = 21 (verdadeira)

〉 para x = 4, temos: (4)² + 5 = 21 ⇒ 16 + 5 = 21 ⇒ 21 = 21 (verdadeira)

Qualquer outro valor de U atribuído a x torna a sentença falsa. Portanto os números –4 e 4 são as raízes da equação. As raízes que pertencem ao conjunto universo da equação determinam o conjunto verdade ou conjunto solução da equação. Assim, o conjunto verdade da equação dada é V = {–4, 4}.

Resumindo:

Conjunto universo é o conjunto formado por todos os valores que a variável pode assumir.

Conjunto verdade é o conjunto dos valores do conjunto universo que tornam a sentença verdadeira.

Acompanhe outro exemplo a seguir:

Vamos determinar o conjunto universo e o conjunto verdade da sentença: y é um número natural que multiplicado por 2 dá 6.

Escrevendo essa sentença na linguagem matemática, temos a equação:

2y = 6

〉 O conjunto universo é formado pelos números naturais. Portanto: U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
〉 O número natural que multiplicado por 2 dá 6 é o 3. Então V = {3}

 O que é Grau de uma Equação?

Chama-se grau de uma equação, o maior expoente da variável de coeficiente diferente de zero. Assim, uma equação é:

→ do 1º grau, quando o maior expoente da variável de coeficiente não-nulo é 1.

Exemplo:

〉 5x + 11  = 0

〉 4y + 5 = 0

〉 2(3y – 1) = 2y + 4

→ do 2º grau, quando o maior expoente da variável de coeficiente não-nulo é 2.

Exemplo:

〉 5x² – 5x + 4  = 0

〉 3y² + 2y + 9 = 0

〉 8y² = 2y + 4

→ do 3º grau, quando o maior expoente da variável de coeficiente não-nulo é 3.

Exemplo:

〉 7x³ – 5x² + 4x + 6 = 0

〉 y³ + y – 1 = 0

〉 3x³ + 2x² = x + 6

→ e assim por diante.