O que é Teorema do Limite Central

Teorema do Limite Central: O Teorema do Limite Central (TLC) é um princípio fundamental na teoria da probabilidade e estatística, descrevendo o comportamento da soma de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.). Esse teorema é crucial em inferência estatística, especialmente em situações envolvendo médias amostrais.

1. Enunciado do Teorema:O TLC estabelece que, sob certas condições, a distribuição da média de um grande número de variáveis aleatórias i.i.d. se aproxima de uma distribuição normal, independentemente da forma da distribuição original das variáveis. Em termos simples, mesmo que as variáveis aleatórias individuais não se distribuam normalmente, a distribuição das médias amostrais se aproxima de uma distribuição normal à medida que o tamanho da amostra aumenta.
2. Condições do Teorema:
   • As variáveis aleatórias devem ser independentes e terem a mesma distribuição.
   • O tamanho da amostra deve ser suficientemente grande para que a aplicação do TCL seja justificada.
3. Formulação Matemática:Se X₁, X₂, … , X_n​ são variáveis aleatórias i.i.d. com média $\mu$ e desvio padrão σ, então a média amostral   (a média de X₁, X₂, … , X_n​) se aproxima de uma distribuição normal com média μ e desvio padrão  à medida que $n$ aumenta.
4. Importância na Estatística:
   • Facilita a inferência estatística sobre médias populacionais, mesmo quando a distribuição populacional não é normal.
   • Permite a construção de intervalos de confiança e a realização de testes de hipóteses para médias.
5. Aplicações Práticas:
   • Em pesquisa de mercado, onde se deseja estimar a média de uma população a partir de uma amostra.
   • Em controle de qualidade, para monitorar a média de uma característica em produtos fabricados.
   • Na modelagem estatística, onde a suposição de normalidade é frequentemente utilizada para simplificar análises.
6. Exemplo Ilustrativo:Suponha que joguemos um dado justo várias vezes e calculemos a média dos resultados. Conforme aumentamos o número de lançamentos, a distribuição da média se aproximará de uma distribuição normal, conforme previsto pelo TLC.
7. Limitações:O TLC é mais eficaz quando as variáveis aleatórias têm caudas não muito pesadas. Em casos de caudas pesadas, outras abordagens, como o Teorema do Limite Central Generalizado, podem ser necessárias.

Em resumo, o Teorema do Limite Central é uma ferramenta fundamental que permite generalizações importantes sobre o comportamento das médias amostrais, tornando-se uma pedra angular na análise estatística e na inferência.