Módulo (de um Número Complexo e um Vetor): O termo “módulo” é usado em matemática para descrever a magnitude ou o tamanho de uma grandeza, como um número complexo ou um vetor em um espaço euclidiano. Dependendo do contexto, o módulo pode se referir a diferentes conceitos, mas em todos os casos, ele fornece uma medida da magnitude ou distância.
Módulo de um Número Complexo:
- Definição: O módulo de um número complexo z=a+bi, denotado como |z|, é a distância do ponto que ele representa ao ponto de origem (0,0) no plano complexo. Matematicamente, o módulo de um número complexo é calculado pela fórmula:
Onde é a parte real e é a parte imaginária do número complexo .
- Interpretação Geométrica: No plano complexo, o módulo de um número complexo é a distância da origem até o ponto que ele representa. Isso pode ser visualizado como o comprimento de uma linha reta que liga a origem ao ponto no plano.
- Propriedades: O módulo de um número complexo é sempre um número real não negativo. Se o módulo for igual a zero, isso significa que o número complexo está na origem. Quanto maior o módulo, maior é a magnitude do número complexo.
Módulo de um Vetor:
- Definição: O módulo de um vetor é uma medida da magnitude ou tamanho desse vetor em um espaço euclidiano. Ele é calculado usando o teorema de Pitágoras, que envolve as componentes do vetor no espaço. Se o vetor é representado como
, o módulo ||v|| é calculado da seguinte forma:
Isso é uma generalização da fórmula para calcular o módulo de um número complexo. - Interpretação Geométrica: O módulo de um vetor em um espaço euclidiano é a sua magnitude, que é a distância do ponto de origem até o ponto representado pelo vetor. Isso é aplicável em dois ou três espaços dimensionais, bem como em espaços de maior dimensão.
- Aplicações: O conceito de módulo de vetores é amplamente utilizado em física, engenharia, geometria e ciências aplicadas para medir forças, velocidades, acelerações e outras grandezas que envolvem magnitude e direção.