O que é Kernel (ou Núcleo, em Álgebra Linear)

Kernel (ou Núcleo em Álgebra Linear): Em álgebra linear, o termo “kernel,” também conhecido como “núcleo,” refere-se a um conceito fundamental relacionado a transformações lineares e matrizes. O kernel é um subconjunto do domínio de uma transformação linear que é mapeado no vetor nulo no contradomínio.

Aqui estão as principais características do kernel em álgebra linear:

1. Definição Formal: O kernel de uma transformação linear T:V→W é o conjunto de todos os vetores $v$ do domínio $V$ que são mapeados no vetor nulo $0$ no contradomínio W. Matematicamente, o kernel é denotado como ker(T) ou $\text{ker}(T:V\to W)$.
2. Vetor Nulo: O vetor nulo, denotado como $0$, é o vetor em $W$ que consiste apenas de zeros. No contexto do kernel, é importante entender que o kernel contém todos os vetores de $V$ que, quando transformados por T, resultam no vetor nulo de W.
3. Subespaço Vetorial: O kernel é um subespaço vetorial de V, o que significa que ele satisfaz as propriedades de um espaço vetorial, incluindo a adição de vetores e a multiplicação por escalares.
4. Função Nula: Se o kernel contém apenas o vetor nulo, isso significa que a transformação T é chamada de função nula (ou transformação trivial), e ela mapeia todos os vetores de $V$ no vetor nulo de $W$.
5. Dimensionalidade: A dimensão do kernel, denotada como $\dim (\text{ker}(T))$, fornece informações sobre a transformação linear. A dimensão do kernel é igual à diferença entre a dimensão do domínio e a dimensão do contradomínio: dim⁡(ker(T))=dim⁡(V)−dim⁡(W).
6. Núcleo e Imagem: O kernel e a imagem (ou conjunto imagem) de uma transformação linear são complementares. A imagem é o conjunto de todos os vetores em W que são realmente alcançados por T, enquanto o kernel contém os vetores que são mapeados no vetor nulo.
7. Aplicações em Álgebra Linear: O conceito de kernel é amplamente aplicado em álgebra linear, especialmente no estudo de transformações lineares, matrizes e sistemas de equações lineares. É essencial para entender propriedades como a injetividade (ou univocidade) e a sobrejetividade de transformações lineares.
8. Soluções de Sistemas Lineares: No contexto de sistemas de equações lineares, o kernel desempenha um papel importante na busca de soluções. O conjunto de soluções de um sistema homogêneo de equações lineares forma o kernel da matriz dos coeficientes.

Em resumo, o kernel, também conhecido como núcleo em álgebra linear, é um subconjunto do domínio de uma transformação linear que é mapeado no vetor nulo no contradomínio. É um conceito fundamental para entender as propriedades das transformações lineares e é amplamente aplicado em álgebra linear, fornecendo informações valiosas sobre as relações entre domínio e contradomínio de uma transformação.