Equação do Primeiro Grau
Temas:
- Sentenças matemáticas;
- Termos algébricos;
- Igualdade;
- O que é equação;
- Equação do primeiro grau com uma variável;
- O que são equações equivalentes;
- Aplicação das propriedades da igualdade na resolução de equações →
- Equações impossíveis e identidades;
- Exercícios.
Aplicação das Propriedades da Igualdade na Resolução de Equações
Resolver uma equação é determinar o seu conjunto verdade, considerando o conjunto universo dado. Para resolver uma equação, devemos reduzi-la à equação mais simples equivalente à equação dada. Para facilitar nesse processo, conheça agora algumas propriedades da igualdade:
Aplicação da propriedade aditiva
Observe alguns exemplos:
a) Seja a equação x – 3 = 5, em que V = {8}. Somando 3 aos dois membros dessa equação, temos:
x – 3 + 3 = 5 + 3
x + 0 = 5 + 3
x = 8
As equações x – 3 = 5, x + 0 = 5 + 3 e x = 8 têm o mesmo conjunto verdade e portanto são equivalentes.
b) Seja a equação x + 5 = 9, em que V = {4}. Somando –5 aos dois membros dessa equação, temos:
x +5 – 5 = 9 – 5
x + 0 = 9 – 5
x = 4
As equações x + 5 = 9, x + 0 = 9 – 5 e x = 4 têm o mesmo conjunto verdade e portanto são equivalentes.
Com isso mostramos que, aplicando a propriedade aditiva de uma igualdade, podemos transformar uma equação de 1º grau numa outra mais simples, equivalente a ela, e, dessa forma, obter a sua solução.
Veja alguns exemplos:
a) Determine o conjunto verdade da equação: x + 7 = 12 (U = Q)
Aplicando a propriedade aditiva, temos:
x = 12 – 7
x = 5
Logo, V = {5}.
b) Determine o conjunto verdade da equação: x – 17 = – 9 (U = Q)
Aplicando a propriedade aditiva, temos:
x = –9 + 17
x = 8
Logo, V = {8}.
Aplicação da propriedade multiplicativa
Veja o seguinte exemplo:
Tomemos a equação 3x =12, em que V = {4}, pois 3 × 4 = 12. Dividindo os dois membros dessa equação por 3, temos:
As equações 3x = 12 e x = 4 são equivalentes.
Assim, podemos afirmar que:
Dividindo os dois membros de uma equação por um número diferente de zero, obtemos uma equação equivalente à equação dada.
Vamos agora algumas equações, sendo U = Q:
Veja o seguinte exemplo:
Seja a equação , em que V = {6}, pois Multiplicando os dois membros dessa equação por 3 (o que é o denominador comum das frações), temos:
As equações e são equivalentes.
Assim, podemos estabelecer que:
Quando todos os termos de uma equação têm o mesmo denominador, este pode ser cancelado multiplicando os dois membros dessa equação por esse denominador, e a nova equação assim obtida é equivalente à equação dada.
Agora, veja alguns exemplos:
a)
Multiplicando os dois membros por 7, cancelaremos os denominadores:
Dividindo os dois membros por 5, temos:
, ou seja, x = 4
Logo, V = {4}.
b)
Multiplicando os dois membros por 5, cancelaremos os denominadores:
Dividindo os dois membros por 2, temos:
, ou seja,
Logo, V ={ }
c)
Nesse caso, os denominadores são diferentes. Para resolver essa equação, basta reduzir as frações ao mesmo denominador comum, o mmc. O mmc de (2,3) = 6:
Cancelando os denominadores, fica:
Dividimos os dois membros por 3:
, ou seja,
Logo, V ={ }
Veja o seguinte exemplo:
Considere a equação –2x = 12, em que V = {–6}, pois –2 × (–6) = 12. Multiplicando os dois membros dessa equação por –1, temos:
2x = 12 e V = {–6}, pois –2 × (–6) = –12
As equações –2x = 12 e 2x = –12 são equivalentes.
O exemplo nos mostra que:
Podemos trocar os sinais de todos os termos de uma equação, pois isso equivale a multiplicar os dois membros da equação por –1
Vamos agora resolver algumas equações, sendo U = Q: